Analysis Beispiele

$y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y (x + y + 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x + y + 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \cdot 1$

Schritt 1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.1

Mutltipliziere $x + y + 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + x + y + 1$

Schritt 1.3.8.2

Addiere $y$ und $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (x + 3 y + 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 y + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \cdot 1$

Schritt 2.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $x + 3 y + 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 3 y + 2$

Schritt 2.3.8.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y + 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $x + 2 y + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + 3 y + 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x + 3 y + 2$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x + 2 y + 1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y (x + y + 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y (x + y + 1)$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{y (x + y + 1)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - (2 y) - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x + 3 y + 2 - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 y$ von $3 y$ .

$\frac{x + y + 2 - 1}{y (x + y + 1)}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $y (x + y + 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | y | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $y (x + y + 1)$ mit $y$ .

$y (x + y + 1) y d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Bewege $y$ .

$y \cdot y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{2} x + y^{2} y + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 6.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$(y^{2} x + y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 6.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(y^{2} x + y^{2 + 1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x (x + 3 y + 2)$ mit $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) y d y = 0$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x \cdot x + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Schritt 6.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Schritt 6.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + x \cdot 2) y d y = 0$

Schritt 6.7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + 2 \cdot x) y d y = 0$

Schritt 6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.9

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.9.1

Bewege $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.9.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} x + y^{3} + y^{2} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y^{2} x + y^{3} + y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int y^{2} x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Schritt 8.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Schritt 8.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Schritt 8.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Schritt 8.6

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + y^{2} x + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Schritt 8.8

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.3.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2}$ und $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.3.7.2

Dividiere $x^{2} y$ durch $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} y + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.5

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.6

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 11.7

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x$

Schritt 12.1.3

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.4.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y + 0 - 3 y^{2} x - 2 x y$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $3 x y^{2} + 2 x y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Schritt 12.1.4.3

Ordne die Faktoren in den Termen $3 x y^{2}$ und $- 3 y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Schritt 12.1.4.4

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Schritt 12.1.4.5

Addiere $2 x y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Schritt 12.1.4.6

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$