Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 2 + e^{2 x + y - 1}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{2 x + y - 1}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{2 x + y - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 + v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{2 x + y - 1}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x + y - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + 0)$

Schritt 2.8

Addiere $2 + y'$ und $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y')$

Schritt 3

Ersetze $e^{2 x + y - 1}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 + y')$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 = - 2 + v$

Schritt 5

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 5.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d v}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 + v + 2$

Schritt 5.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 + v + 2$ .

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Schritt 5.1.1.2.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v + 0$

Schritt 5.1.1.2.2

Addiere $v$ und $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v$

Schritt 5.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 5.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

Schritt 5.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = v \cdot v$

Schritt 5.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.2.1

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = 1$

Schritt 5.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d x$

Schritt 6

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d x$

Schritt 6.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1.1

Bringe $v^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d x$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d x$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d x$

Schritt 6.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v^{- 2}$ nach $v$ gleich $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Schritt 6.2.3

Schreibe $- v^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{v} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d x$

Schritt 6.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 6.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{v} = x + K$

Schritt 7

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$v, 1, 1$

Schritt 7.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$v$

Schritt 7.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{v} = x + K$ mit $v$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{v} = x + K$ mit $v$ .

$- \frac{1}{v} v = x v + K v$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{v}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

Schritt 7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

Schritt 7.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = x v + K v$

Schritt 7.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe die Gleichung als $x v + K v = - 1$ um.

$x v + K v = - 1$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $v$ aus $x v + K v$ heraus.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $v$ aus $x v$ heraus.

$v x + K v = - 1$

Schritt 7.3.2.2

Faktorisiere $v$ aus $K v$ heraus.

$v x + v K = - 1$

Schritt 7.3.2.3

Faktorisiere $v$ aus $v x + v K$ heraus.

$v (x + K) = - 1$

Schritt 7.3.3

Teile jeden Ausdruck in $v (x + K) = - 1$ durch $x + K$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $v (x + K) = - 1$ durch $x + K$ .

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

Schritt 7.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + K$ .

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Schritt 7.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

Schritt 7.3.3.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- 1}{x + K}$

Schritt 7.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = - \frac{1}{x + K}$

Schritt 8

Ersetze alle $v$ durch $e^{2 x + y - 1}$ .

$e^{2 x + y - 1} = - \frac{1}{x + K}$

Schritt 9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 x + y - 1}) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Schritt 9.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 9.2.1

Zerlege $\ln (e^{2 x + y - 1})$ durch Herausziehen von $2 x + y - 1$ aus dem Logarithmus.

$(2 x + y - 1) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Schritt 9.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 x + y - 1) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $2 x + y - 1$ mit $1$ .

$2 x + y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x$

Schritt 9.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x + 1$