Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 x - 42}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1}{6 x - 42} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{6 x - 42} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 42} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 6 x - 42$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 6 x - 42$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $6 x - 42$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 42]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 42$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $- 42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 42$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{6 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $6 x - 42$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 42 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 42 |) + C$