Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8}{x - 7}$ , $y (8) = - 9$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - \frac{8}{x - 7} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{8}{x - 7} d x$

Schritt 2.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x - 7} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x - 7} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u = x - 7$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = x - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Schritt 2.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3.4.1.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - 8 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 8 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $x - 7$ .

$y + C_{1} = - 8 \ln (| x - 7 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $8$ für $x$ und $- 9$ für $y$ in $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ ersetzt wird.

$- 9 = - 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$ um.

$- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$- 8 \ln (| 1 |) + C = - 9$

Schritt 4.2.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- 8 \ln (1) + C = - 9$

Schritt 4.2.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 8 \cdot 0 + C = - 9$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$0 + C = - 9$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $C$ .

$C = - 9$

Schritt 5

Setze $- 9$ für $C$ in $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $- 9$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) - 9$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 8 \ln (| x - 7 |)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - \ln ({| x - 7 |}^{8}) - 9$

Schritt 5.2.2

Entferne den Absolutwert in ${| x - 7 |}^{8}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = - \ln ({(x - 7)}^{8}) - 9$