Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y (x - y)}{x^{2}}$ aus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y (x - y)}{x^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{x - y}{x}$

Schritt 1.1.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{x - y}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{x} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Spalte $\frac{x - y}{x}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{x - y}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{x}{x} + \frac{- y}{x}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{x}{x} + \frac{- y}{x}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{- y}{x}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = (1 - \frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 - V) V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (1 - V) V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache $(1 - V) V$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Forme um.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (1 - V) V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x \frac{d V}{d x} + V = (1 - V) V$

Schritt 6.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{d V}{d x} + V = 1 V - V \cdot V$

Schritt 6.1.1.1.4

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V \cdot V$

Schritt 6.1.1.1.5

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.5.1

Bewege $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - (V \cdot V)$

Schritt 6.1.1.1.5.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{2}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V - V^{2} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V - V^{2} - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2} + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $- V^{2}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{x})$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{V^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.2.1.1

Bringe $V^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- 2}$ nach $V$ gleich $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe $- V^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{V} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$V, 1, 1$

Schritt 6.3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$V$

Schritt 6.3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ mit $V$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ mit $V$ .

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{V}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - \ln (| x |) V + C V$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $- \ln (| x |) V + C V$ um.

$- 1 = - V \ln (| x |) + C V$

Schritt 6.3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- V \ln (| x |) + C V = - 1$ um.

$- V \ln (| x |) + C V = - 1$

Schritt 6.3.3.2

Faktorisiere $V$ aus $- V \ln (| x |) + C V$ heraus.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $V$ aus $- V \ln (| x |)$ heraus.

$V (- 1 \ln (| x |)) + C V = - 1$

Schritt 6.3.3.2.2

Faktorisiere $V$ aus $C V$ heraus.

$V (- 1 \ln (| x |)) + V C = - 1$

Schritt 6.3.3.2.3

Faktorisiere $V$ aus $V (- 1 \ln (| x |)) + V C$ heraus.

$V (- 1 \ln (| x |) + C) = - 1$

Schritt 6.3.3.3

Schreibe $- 1 \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$

Schritt 6.3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ durch $- \ln (| x |) + C$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ durch $- \ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 6.3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (| x |) + C$ .

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Schritt 6.3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 6.3.3.4.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 6.3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = - \frac{1}{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 6.3.3.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (| x |)$ heraus.

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) + C}$

Schritt 6.3.3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) - 1 (- C)}$

Schritt 6.3.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (| x |)) - 1 (- C)$ heraus.

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |) - C)}$

Schritt 6.3.3.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.3.4.3.5.1

Schreibe $- (\ln (| x |) - C)$ als $- 1 (\ln (| x |) - C)$ um.

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| x |) - C)}$

Schritt 6.3.3.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = - - \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Schritt 6.3.3.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = 1 \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Schritt 6.3.3.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (| x |) - C}$ mit $1$ .

$V = \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{\ln (| x |) + C}$