Analysis Beispiele

$(x - 4) y^{4} d x - x^{3} (y^{2} - 3) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(x - 4) y^{4} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} (y^{2} - 3) d y = - (x - 4) y^{4} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{3} y^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{3} y^{4}} (- x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{3} y^{4}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} y^{4}$ heraus.

$\frac{- 1}{x^{3} (y^{4})} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y^{4}} (y^{2} - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y^{4}} (y^{2} - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- \frac{1}{y^{4}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{4}}$ in den Zähler.

$(\frac{- 1}{y^{4}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{4}$ heraus.

$(\frac{- 1}{y^{2} y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{- 1}{y^{2} y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{- 1}{y^{2}} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.6

Multipliziere $- \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3$ .

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$(\frac{- 1}{y^{2}} + 3 \frac{1}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y^{4}}$ .

$(\frac{- 1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = - \frac{1}{x^{3} y^{4}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

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Schritt 3.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{3} y^{4}}$ in den Zähler.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{x^{3} y^{4}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.9.2

Faktorisiere $y^{4}$ aus $x^{3} y^{4}$ heraus.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Schritt 3.9.3

Faktorisiere $y^{4}$ aus $(x - 4) y^{4}$ heraus.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} (y^{4} (x - 4)) d x$

Schritt 3.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} (y^{4} (x - 4)) d x$

Schritt 3.9.5

Forme den Ausdruck um.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{x^{3}} (x - 4) d x$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = - \frac{1}{x^{3}} (x - 4) d x$

Schritt 3.11

Wende das Distributivgesetz an.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (- \frac{1}{x^{3}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{3}}$ in den Zähler.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{3}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Schritt 3.12.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{2}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Schritt 3.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{2}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Schritt 3.12.4

Forme den Ausdruck um.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Schritt 3.13

Multipliziere $- \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4$ .

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Schritt 3.13.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}) d x$

Schritt 3.13.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}) d x$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.3.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.5

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.6.1

Bringe $y^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.6.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 4}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8

Vereinfache.

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Schritt 4.2.8.1

Vereinfache.

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Schritt 4.2.8.1.1

Kombiniere $y^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.1.2

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.2

Vereinfache.

$- - \frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{y} - 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.2.8.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.8.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{3}$ heraus.

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} + \frac{- 1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2.8.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.6.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int x^{- 3} d x$

Schritt 4.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{5})$

Schritt 4.3.8

Vereinfache.

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Schritt 4.3.8.1

Vereinfache.

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Schritt 4.3.8.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{5})$

Schritt 4.3.8.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5})$

Schritt 4.3.8.2

Vereinfache.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - - \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.8.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.8.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C_{6}$

Schritt 4.3.8.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + K$