Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 y$

Schritt 1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2}$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{2} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 2$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Schritt 7.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere $\int e^{2 x} (x) d x$ mit $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

Schritt 7.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Schritt 7.8

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.8.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.8.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.8.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7.9

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 7.10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 7.11

Vereinfache.

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Schritt 7.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 7.13

Vereinfache.

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Schritt 7.13.1

Schreibe $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2

Vereinfache.

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Schritt 7.13.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.4

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Schritt 7.13.2.6

Um $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 7.13.2.7

Kombiniere $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 7.13.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 7.13.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 7.14

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 7.15

Vereinfache.

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Schritt 7.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 7.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 7.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 7.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 7.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.15.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 x}}{4}$ in den Zähler.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Schritt 7.15.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Schritt 7.15.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Schritt 7.15.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Schritt 7.15.3.5

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.15.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.4.2

Multipliziere $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

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Schritt 7.15.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{2 x}}{2}$ mit $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.5

Um $- x e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.6

Kombiniere $- x e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.15.8.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 7.15.8.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- x e^{2 x} \cdot 2$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.8.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.8.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.10

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.12

Schreibe $- (2 x - 1)$ als $- 1 (2 x - 1)$ um.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Schritt 7.15.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

Schritt 7.16

Stelle die Terme um.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Schritt 8.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Schritt 8.1.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x})) + C$

Schritt 8.1.1.4

Schreibe $- 1 e^{2 x}$ als $- e^{2 x}$ um.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x})) + C$

Schritt 8.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Schritt 8.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Schritt 8.1.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{2 x} x$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Schritt 8.1.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Schritt 8.1.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Schritt 8.1.1.7

Multipliziere $- \frac{1}{2} (- e^{2 x})$ .

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Schritt 8.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + 1 (\frac{1}{2}) e^{2 x}) + C$

Schritt 8.1.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{1}{2} e^{2 x}) + C$

Schritt 8.1.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.8

Schreibe $- 1 (e^{2 x} x)$ als $- (e^{2 x} x)$ um.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.9

Vereinige $- e^{2 x} x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 8.1.1.9.1

Bewege $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.9.2

Um $- x e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.9.3

Kombiniere $- x e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1.10.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 8.1.1.10.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- x e^{2 x} \cdot 2$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.10.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.10.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}) + C$

Schritt 8.1.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Schritt 8.1.2

Um $x^{2} e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $x^{2} e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Schritt 8.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 8.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.5.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ heraus.

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Schritt 8.1.5.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x^{2} e^{2 x} \cdot 2$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 8.1.5.1.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2 - 2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 8.1.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 8.1.6

Kombinieren.

$e^{2 x} y = \frac{1 (e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 8.1.7

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 8.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.3.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.4.2.3

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.4.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.5

Stelle die Faktoren in $\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ um.

$y = \frac{\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}$ mit $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$