Analysis Beispiele

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 1.4

Stelle $y$ und $\frac{x + 2}{x + 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Dividiere $x + 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 2.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 2.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

Schritt 2.2.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2.4

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.4.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.4.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.2.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{x + 2}{x + 1}$ und $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $e^{x + \ln (x + 1)}$ und $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.3

Um $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $e^{x + \ln (x + 1)}$ aus $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $e^{x + \ln (x + 1)}$ aus $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ heraus.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $e^{x + \ln (x + 1)}$ aus $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ heraus.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $e^{x + \ln (x + 1)}$ aus $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ heraus.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Schritt 3.6

Multipliziere $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $e^{x + \ln (x + 1)}$ und $\frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere $e^{x + \ln (x + 1)}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.2.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Schritt 3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Schritt 3.6.2.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Schritt 3.6.2.4

Addiere $0$ und $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Forme um.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Schritt 3.7.2

Multipliziere $e^{x + \ln (x + 1)}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.2.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Schritt 3.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Schritt 3.7.2.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Schritt 3.7.2.4

Addiere $0$ und $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Schritt 3.7.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2 x}{x + 1}$

Schritt 3.7.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Schritt 3.8.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Schritt 3.9

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$ um.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2 x$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 x d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 x d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 \int x d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 1 x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ durch $e^{x + \ln (x + 1)}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ durch $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$