Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 1 + e^{2 x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (1 + e^{2 x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 1 + e^{2 x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 1 + e^{2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int d x + \int e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$y + C_{1} = x + \frac{1}{2} e^{u} + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y + C_{1} = x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + x + K$