Analysis Beispiele

$\frac{d p}{d t} + 20 p - 240 = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d p}{d t}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $20 p$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d p}{d t} - 240 = - 20 p$

Schritt 1.1.2

Addiere $240$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d p}{d t} = - 20 p + 240$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- 20 p + 240}$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{- 20 p + 240} (- 20 p + 240)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $20$ aus $- 20 p + 240$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $20$ aus $- 20 p$ heraus.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p) + 240} (- 20 p + 240)$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $20$ aus $240$ heraus.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p) + 20 (12)} (- 20 p + 240)$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (- p) + 20 (12)$ heraus.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p + 12)} (- 20 p + 240)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{20 (- p + 12)}$ mit $- 20 p + 240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- 20 p + 240}{20 (- p + 12)}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20 p + 240$ und $20$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $20$ aus $- 20 p$ heraus.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p) + 240}{20 (- p + 12)}$

Schritt 1.3.3.2

Faktorisiere $20$ aus $240$ heraus.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p) + 20 \cdot 12}{20 (- p + 12)}$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (- p) + 20 (12)$ heraus.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p + 12)}{20 (- p + 12)}$

Schritt 1.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p + 12)}{20 (- p + 12)}$

Schritt 1.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- p + 12}{- p + 12}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- p + 12$ .

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Schritt 1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- p + 12}{- p + 12}$

Schritt 1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- 20 p + 240} d p = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- 20 p + 240} d p = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = - 20 p + 240$ . Dann ist $d u = - 20 d p$ , folglich $- \frac{1}{20} d u = d p$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = - 20 p + 240$ . Ermittle $\frac{d u}{d p}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $- 20 p + 240$ .

$\frac{d}{d p} [- 20 p + 240]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 20 p + 240$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [- 20 p] + \frac{d}{d p} [240]$ .

$\frac{d}{d p} [- 20 p] + \frac{d}{d p} [240]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d p} [- 20 p]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- 20 p$ nach $p$ gleich $- 20 \frac{d}{d p} [p]$ .

$- 20 \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [240]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d p} [240]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$- 20 + \frac{d}{d p} [240]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $240$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $240$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$- 20 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $- 20$ und $0$ .

$- 20$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 20} d u = \int d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{20}) d u = \int d t$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{20}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 20} d u = \int d t$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $20$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{20 u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{20 u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{20}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{20}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{20} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{20} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{20} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $- 20 p + 240$ .

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) = t + C$

Schritt 3

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 20$ .

$- 20 (- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |)) = - 20 (t + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 20 (- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| - 20 p + 240 |)$ und $\frac{1}{20}$ .

$- 20 (- \frac{\ln (| - 20 p + 240 |)}{20}) = - 20 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| - 20 p + 240 |)}{20}$ in den Zähler.

$- 20 \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $20$ aus $- 20$ heraus.

$20 (- 1) \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| - 20 p + 240 |)$ mit $1$ .

$\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 t - 20 C$

Schritt 3.3

Um nach $p$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| - 20 p + 240 |)} = e^{- 20 t - 20 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 t - 20 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 20 t - 20 C} = | - 20 p + 240 |$

Schritt 3.5

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| - 20 p + 240 | = e^{- 20 t - 20 C}$ um.

$| - 20 p + 240 | = e^{- 20 t - 20 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- 20 p + 240 = \pm e^{- 20 t - 20 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $240$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$ durch $- 20$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$ durch $- 20$ .

$\frac{- 20 p}{- 20} = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 20$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20 p}{- 20} = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $p$ durch $1$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + \frac{- 240}{- 20}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Dividiere $- 240$ durch $- 20$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + 12$

Schritt 3.5.4.3.2

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + 12 \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 3.5.4.3.3

Kombiniere $12$ und $\frac{20}{20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + \frac{12 \cdot 20}{20}$

Schritt 3.5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C} + 12 \cdot 20}{20}$

Schritt 3.5.4.3.5

Mutltipliziere $12$ mit $20$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C} + 240}{20}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t + C} + 240}{20}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- 20 t + C}$ als $e^{- 20 t} e^{C}$ um.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t} e^{C} + 240}{20}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- 20 t}$ und $e^{C}$ um.

$p = \frac{\pm e^{C} e^{- 20 t} + 240}{20}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$p = \frac{C e^{- 20 t} + 240}{20}$