Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\sin (2 y)$ .

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 y)$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\sin (2 y) d y = \cos (3 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \sin (2 y) d y = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 2 y$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1})) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$- \frac{\cos (2 y)}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.7

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 3 x$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y))$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin^{2} (y)$ heraus.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} - - \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (y)$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Dreifachwinkelfunktion für den Sinus an.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) + K$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x)) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x))$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4}{3} \sin^{3} (x) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Schritt 3.3.1.3.2

Kombiniere $\frac{- 4}{3}$ und $\sin^{3} (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin (x)$ heraus.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 (\sin (x))) + K$

Schritt 3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Schritt 3.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Schritt 3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (y) = \pm \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (y) = \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (\sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Schritt 3.4.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (y) = - \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.4.3.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (- \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Schritt 3.4.3.5