Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} d y = (y + 1) d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Schritt 2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{y + 1}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Faktorisiere $y + 1$ aus $x^{2} (y + 1)$ heraus.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

Schritt 2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y^{2}}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Dividiere $y^{2}$ durch $y + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	+	$y$

Schritt 3.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y^{2} + y$

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$

Schritt 3.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

Schritt 3.2.1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

Schritt 3.2.1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

Schritt 3.2.1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					-	$y$	-	$1$

Schritt 3.2.1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- y - 1$

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$

Schritt 3.2.1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$
							+	$1$

Schritt 3.2.1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int y - 1 + \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2.5

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 3.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2.7

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2.8

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{- 2} d x$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - x^{- 1} + C_{5}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- x^{- 1} + C_{5}$ als $- \frac{1}{x} + C_{5}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{x} + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$