Analysis Beispiele

$3 x (x y - 2) d x + (x^{3} + 2 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x (x y - 2)]$

Schritt 1.2

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x (x y - 2)$ nach $y$ gleich $3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

Schritt 1.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2])$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + \frac{d}{d y} [- 2])$

Schritt 1.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + 0)$

Schritt 1.8

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot x$

Schritt 1.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x)$

Schritt 1.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x^{1})$

Schritt 1.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{1 + 1}$

Schritt 1.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{3} + 2 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Schritt 2.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 x^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x (x y - 2) d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 \int x (x y - 2) d x$

Schritt 5.2

Multipliziere $x (x y - 2)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = 3 \int x (x y) + x \cdot - 2 d x$

Schritt 5.2.2

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y + x \cdot - 2 d x$

Schritt 5.2.3

Stelle $x$ und $- 2$ um.

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y - 2 x d x$

Schritt 5.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x y - 2 x d x$

Schritt 5.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x^{1} y - 2 x d x$

Schritt 5.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = 3 \int x^{1 + 1} y - 2 x d x$

Schritt 5.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{2} y - 2 x d x$

Schritt 5.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = 3 (\int x^{2} y d x + \int - 2 x d x)$

Schritt 5.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 (y \int x^{2} d x + \int - 2 x d x)$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x)$

Schritt 5.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x)$

Schritt 5.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Schritt 5.8

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + C$

Schritt 5.9

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere $\frac{y}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{x^{3}}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y x^{3}}{3}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.5

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{3}$ mit $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.7

Addiere $\frac{x^{3}}{3}$ und $0$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.3.9.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = x^{3} + 2 y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y - x^{3}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + 2 y - x^{3}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Schritt 10.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{y}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Schritt 12.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 x^{2} + y^{2} + C$