Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Schritt 1.2

Zerlege den Bruch $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Schritt 1.3

Nehme $\sqrt{x^{2}} = x$ an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Vereinige $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ und $\sqrt{x^{2}}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.5

Spalte $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.6

Schreibe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{y}{x})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $0$ und $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $V = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d V = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Ordne Terme um.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t)$ .

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Schritt 6.2.2.2.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (V)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 8.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{y}{x})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{y}{x})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{y}{x})$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.5

Schreibe $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ um.

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Schritt 8.3.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} + y^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ um.

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.7

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.8

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$