Analysis Beispiele

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

Schritt 1.2

Integriere $- \frac{1}{2 t}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

Schritt 1.2.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

Schritt 1.2.3

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$t^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2 t}$ und $z$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{z}{2 t}$ mit $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4.2

Multipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.4.2.1

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ mit $0$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $t$ ist $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

Schritt 7

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ und $z$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

Schritt 7.2

Multipliziere beide Seiten mit $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$z = C t^{\frac{1}{2}}$