Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 1 + x + y^{2} + x y^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = (1 + x) + y^{2} + x y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + y^{2} \cdot (1 + x)$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y^{2})$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x) (1 + y^{2}))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $(1 + x) (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x))$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x))$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \tan (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$