Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = (1 - x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 x + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{3}}{3}$ in den Zähler.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = - x^{3} + 3 x + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 3 x + K}$