Analysis Beispiele

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

Schritt 2

Es sei $v = y^{2}$ . Ersetze $v$ für alle $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

Schritt 3

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $y^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x y$ heraus.

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

Schritt 5

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $v$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Schritt 5.3.2

Dividiere $\frac{d v}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

Schritt 5.4.2.5

Dividiere $- 2 x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $v$ aus $\frac{- v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

Schritt 5.6

Stelle $v$ und $\frac{- 1}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

Schritt 6

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{x}$ gilt.

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Schritt 6.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Schritt 6.2

Integriere $\frac{- 1}{x}$ .

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Schritt 6.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 6.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 6.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 6.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 6.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 7

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 7.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{v}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Schritt 7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Schritt 7.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Schritt 7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Schritt 7.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

Schritt 8

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

Schritt 9

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

Schritt 10

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

Schritt 11

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 11.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

Schritt 11.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 11.3.2

Vereinfache.

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Schritt 11.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 11.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 11.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Schritt 11.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

Schritt 12

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

Schritt 12.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 12.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Schritt 12.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (- x^{2} + C) x$

Schritt 12.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.2.1

Vereinfache $(- x^{2} + C) x$ .

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Schritt 12.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = - x^{2} x + C x$

Schritt 12.3.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

Schritt 12.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 12.3.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

Schritt 12.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

Schritt 12.3.2.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

Schritt 13

Ersetze alle $v$ durch $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

Schritt 14

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 14.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

Schritt 14.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3} + C x$ heraus.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

Schritt 14.2.2

Faktorisiere $x$ aus $C x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

Schritt 14.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x^{2}) + x C$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Schritt 14.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 14.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Schritt 14.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Schritt 14.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$