Analysis Beispiele

$\frac{4}{t} d t - \frac{y - 3}{y} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{4}{t} d t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y - 3}{y} d y = - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2.2

Dividiere $y - 3$ durch $y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Schritt 2.2.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Schritt 2.2.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 0$

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Schritt 2.2.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Schritt 2.2.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2.6

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int - \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - \int \frac{4}{t} d t$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - (4 \int \frac{1}{t} d t)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 (\ln (| t |) + C_{4})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \ln (| t |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- (y - 3 \ln (| y |)) = - 4 \ln (| t |) + C$