Analysis Beispiele

$(x^{3} + y^{3}) d x - x y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + y^{3}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.3

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - x y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Schritt 2.2

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $x$ gleich $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 y^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 y^{2} = - y^{2}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 y^{2} = - y^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - - y^{2}}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $- x y^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $- x y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - - y^{2}}{- x y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2} - - y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} \cdot 3 - - y^{2}}{- x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- - y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- - 1)}{- x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- - 1)$ heraus.

$\frac{y^{2} (3 - - 1)}{- x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} (3 + 1)}{- x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 4}{- x y^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \cdot 4}{- x y^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{- x}$

Schritt 4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 4 \ln (| x |)$ , indem du $- 4$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x^{3} + y^{3}) d x - x y^{2} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{3} + y^{3}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x - x y^{2} d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{3} + y^{3}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{4}} d x - x y^{2} d y = 0$

Schritt 6.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - x y^{2} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- x y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - x y^{2} \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- x y^{2}$ heraus.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x (- 1 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x (- 1 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x (- 1 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - 1 y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{1}{x^{3}}$ und $y^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - 1 \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.7

Schreibe $- 1 \frac{y^{2}}{x^{3}}$ als $- \frac{y^{2}}{x^{3}}$ um.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Schritt 8.2

Da $\frac{1}{x^{3}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x^{3}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y)$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 8.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.5.1

Schreibe $- \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 8.5.2

Vereinfache.

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Schritt 8.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

Schritt 8.5.2.2

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $- \frac{y^{3}}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 11.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.9

Kombiniere $3$ und $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.10

Kombiniere $\frac{3 y^{3}}{3}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.11

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Multipliziere $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1.3.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 12.1.1.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1.3.3.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1.3.3.6.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.9

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.10

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1.3.3.10.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.10.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 12.1.1.3.3.10.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

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Schritt 12.1.1.3.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x^{2} y$ und $- y x^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.4.3

Addiere $- x^{3} - x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.4.4

Ordne die Faktoren in den Termen $- x y^{2}$ und $y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.4.5

Addiere $- y^{2} x$ und $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.4.6

Addiere $- x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{3} - x^{3} - y^{3}$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Subtrahiere $y^{3}$ von $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 12.1.1.5.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.1.5.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{3} x} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{3} x} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $\frac{1}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + \ln (| x |) + C$