Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = 2 x$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (2 x)$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} x$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} x$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 2 x e^{- x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 2 x e^{- x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 2 x e^{- x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int 2 x e^{- x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = 2 \int x e^{- x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Schritt 6.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Schritt 6.5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 6.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 6.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Schritt 6.8

Schreibe $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ als $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ um.

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Schritt 6.9

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x e^{- x}$ heraus.

$y = \frac{- (2 x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 e^{- x}$ heraus.

$y = \frac{- (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ heraus.

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- C)$ heraus.

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.3.6.1

Schreibe $- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)$ als $- 1 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)$ um.

$y = \frac{- 1 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C}{e^{- x}}$