Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} \sin (x) + y \cos (x) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $y \cos (x)$ heraus.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos (x)) = 1$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $\cos (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 1$

Schritt 2

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $\sin (x) y$ ist.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Schritt 2.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 1$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$\sin (x) y = \int d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\sin (x) y = x + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) y = x + C$ durch $\sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) y = x + C$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Separiere Brüche.

$y = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 7.3.1.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$y = \frac{x}{1} \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 7.3.1.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 7.3.1.4

Separiere Brüche.

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 7.3.1.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Schritt 7.3.1.6

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = x \csc (x) + C \csc (x)$