Analysis Beispiele

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Da $6 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y (2 x - 3)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y (2 x - 3)$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Schritt 2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = 2 y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 y = 2 y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = y (2 x - 3)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $2 x - 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x - 3$ aus dem Integral.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.3

Schreibe $(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.2

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.8

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.9

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.11.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $6 x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Schritt 10.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$g (x) = 6 \int x d x$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ .

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.6

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.8

Stelle die Faktoren von $x y^{2}$ um.

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.9

Vereinige $y^{2} x$ und $- \frac{3 y^{2}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 12.1.9.1

Stelle $y^{2}$ und $x$ um.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.9.2

Um $x y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.9.3

Kombiniere $x y^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.10.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ heraus.

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Schritt 12.1.10.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.10.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.10.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.1.10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 12.2

Um $3 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $3 x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.5.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$