Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 3 x^{2} e^{- 3 x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 3$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (3 x^{2} e^{- 3 x})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (3 x^{2} e^{- 3 x})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{3 x} (x^{2} e^{- 3 x})$

Schritt 2.4

Multipliziere $e^{3 x}$ mit $e^{- 3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $e^{- 3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 (e^{- 3 x} e^{3 x}) x^{2}$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{- 3 x + 3 x} x^{2}$

Schritt 2.4.3

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{0} x^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache $3 e^{0} x^{2}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 x^{2}$

Schritt 2.6

Stelle die Faktoren in $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 x^{2}$ um.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 x^{2}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 3 x^{2}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{3 x} y = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 3 \int x^{2} d x$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 x} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$e^{3 x} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 x} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 6.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 x} y = 1 x^{3} + C$

Schritt 6.3.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$e^{3 x} y = x^{3} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = x^{3} + C$ durch $e^{3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = x^{3} + C$ durch $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{x^{3}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{x^{3}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$