Analysis Beispiele

$2 y d x = (x^{2} + 4) d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$(x^{2} + 4) d y = 2 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) y$ heraus.

$\frac{1}{(x^{2} + 4) (y)} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $(x^{2} + 4) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Schritt 4.3.4.3.4

Mutltipliziere $\arctan (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Schritt 4.3.4.4

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Schritt 5.2

Schreibe $\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C} = | y |$

Schritt 5.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ um.

$| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Schritt 5.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe $e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ als $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$

Schritt 6.2

Stelle $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$

Schritt 6.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$