Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = y + x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - y = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.4.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{x (3 x)}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{x (3 x)}{x^{1}} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.5.2.5

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 1.7

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $\frac{- 1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + 3 \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + 3 + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + 3 + \frac{- 2}{x}$

Schritt 3.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + 3 - \frac{2}{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x + 3 - \frac{2}{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x + 3 - \frac{2}{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int x + 3 - \frac{2}{x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{x} y = \int x d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 7.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C - \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 7.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7.8

Vereinfache.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2.2

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln ({| x |}^{2}) + C$

Schritt 8.2.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Multipliziere $\frac{x^{2}}{2} x$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 (x \cdot x) - \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.3

Stelle die Faktoren in $\frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$ um.

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} - x \ln (x^{2}) + C x$

Schritt 8.4.2.1.4

Bewege $- x \ln (x^{2})$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} + C x - x \ln (x^{2})$