Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}}$ nach $x$ ist $\arcsin (\frac{x}{4})$

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$ als $\arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $π$ für $y$ in $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ ersetzt wird.

$π = \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$ um.

$\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$\arcsin (0) + K = π$

Schritt 4.2.1.1.2

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$0 + K = π$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = π$

Schritt 5

Setze $π$ für $K$ in $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $π$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + π$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y = \arcsin (\frac{x}{4}) + π$