Analysis Beispiele

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y (y^{3} - x)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = y^{3} - x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Addiere $3 y^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

Schritt 1.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $y^{3} - x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

Schritt 1.8.2

Addiere $3 y^{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (y^{3} + x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3} + x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

Schritt 2.3.7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.7.1

Mutltipliziere $y^{3} + x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

Schritt 2.3.7.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $4 y^{3} - x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y^{3} + 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y^{3} + 2 x$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $4 y^{3} - x$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y (y^{3} - x)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y (y^{3} - x)$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $4 y^{3}$ von $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2.5

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y^{3} + 3 x$ heraus.

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2.6.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.2.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- y^{3}) + 3 (x)$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- y^{3} + x$ und $y^{3} - x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{3}) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.3.4

Schreibe $- (y^{3} - x)$ als $- 1 (y^{3} - x)$ um.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Schritt 4.3.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $y (y^{3} - x)$ .

$- \frac{3}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| y |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y (y^{3} - x)$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $y^{3} - x$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x (y^{3} + x)$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $x y^{3} + x^{2}$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 6.8

Faktorisiere $x$ aus $x y^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x y^{3}$ heraus.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 6.8.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 6.8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (y^{3}) + x \cdot x$ heraus.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $\frac{1}{y^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{y^{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

Schritt 8.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

Schritt 8.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

Schritt 8.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = \frac{1}{y^{2}}$ und $g (y) = y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.6

Da $- \frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.7

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{2}$ .

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Schritt 11.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.8.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.11

Addiere $3 x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.12

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.13

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.14

Kombiniere $\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ und $y^{2}$ .

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.15

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 11.3.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.16.2

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.17

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.17.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.19

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.3.21

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.3

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.4

Kombiniere $x$ und $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ .

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 11.5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.7.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.9

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.12

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $1$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.13

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3.16

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 11.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Schritt 12.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Schritt 12.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

Schritt 12.1.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.3.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

Schritt 12.1.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ .

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Schritt 12.1.4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $- x y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Schritt 12.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 12.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Schritt 12.1.5.2

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

Schritt 12.1.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} + x - x$ .

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Schritt 12.1.6.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Schritt 12.1.6.2

Addiere $\frac{d g}{d y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $x$ aus $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ heraus.

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Schritt 15.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $y^{3} x$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{x^{2}}{2}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Schritt 15.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Schritt 15.3.2

Um $y^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Schritt 15.3.3

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Schritt 15.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.4

Kombiniere $x$ und $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 15.6

Kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

Schritt 15.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$