Analysis Beispiele

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y - 2$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - 2]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 3$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = 3$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $3$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y - 2$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y - 2$ .

$\frac{3 - 1}{y - 2}$

Schritt 4.3.2

Ersetze $M$ durch $y - 2$ .

$\frac{2}{y - 2}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y - 2} d y}$

Schritt 5.2

Sei $u = y - 2$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.2.1

Es sei $u = y - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Differenziere $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Schritt 5.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 5.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 5.2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Schritt 5.5

Ersetze alle $u$ durch $y - 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y - 2 |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $2 \ln (| y - 2 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y - 2 |}^{2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y - 2 |}^{2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y - 2 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = {(y - 2)}^{2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe ${(y - 2)}^{2}$ als $(y - 2) (y - 2)$ um.

$μ (x, y) = (y - 2) (y - 2) + C$

Schritt 5.6.5

Multipliziere $(y - 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = y (y - 2) - 2 (y - 2) + C$

Schritt 5.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2) + C$

Schritt 5.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Schritt 5.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Schritt 5.6.6.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Schritt 5.6.6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 y - 2 y + 4 + C$

Schritt 5.6.6.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 2 y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 4 y + 4 + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y^{2} - 4 y + 4$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y - 2$ mit $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$(y \cdot y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(y^{1 + 2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(y^{3} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(y^{3} - 4 y \cdot y + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.3.1

Bewege $y$ .

$(y^{3} - 4 (y \cdot y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 \cdot y - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.4

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $- 4 y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 4 y + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.5

Addiere $4 y$ und $8 y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $3 x - y$ mit $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4) d y = 0$

Schritt 6.7

Multipliziere $(3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 x (- 4 y) + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 \cdot - 4 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.4

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.8.4.1

Bewege $y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 6.8.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y^{1}) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{2 + 1} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y \cdot y - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.8.6.1

Bewege $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 (y \cdot y) - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Schritt 6.8.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8 d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y^{2}$ nach $y$ gleich $- 6 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.6

Da $12$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $12 y$ nach $y$ gleich $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.8

Da $- 8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.3.11

Addiere $3 y^{2} - 12 y + 12$ und $0$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 y^{2}) + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 \cdot x y^{2} + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.5.2.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x y^{2} + x (- 12 y) + 12 x + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x$

Schritt 12.1.2

Addiere $12 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y$

Schritt 12.1.3

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$ .

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Schritt 12.1.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $3 x y^{2}$ und $- 3 y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Schritt 12.1.4.2

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 + 12 x y - 12 x$

Schritt 12.1.4.3

Addiere $- 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 12 x y - 12 x$

Schritt 12.1.4.4

Addiere $- 12 x y$ und $12 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 - 12 x$

Schritt 12.1.4.5

Addiere $12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 12 x$

Schritt 12.1.4.6

Subtrahiere $12 x$ von $12 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0$

Schritt 12.1.4.7

Addiere $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int - y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Schritt 13.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Schritt 13.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Schritt 13.6

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Schritt 13.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y$

Schritt 13.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 \int y d y$

Schritt 13.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 13.10

Vereinfache.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Schritt 13.11

Vereinfache.

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Schritt 13.11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 13.11.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 4 y^{2}}{2} + C$

Schritt 13.11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 13.11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2} + C$

Schritt 13.11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.11.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 13.11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 13.11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 2 y^{2}}{1} + C$

Schritt 13.11.3.2.4

Dividiere $- 2 y^{2}$ durch $1$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$

Schritt 13.12

Vereinfache.

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Schritt 13.12.1

Stelle die Terme um.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4}) + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Schritt 13.12.2

Entferne die Klammern.

$g (y) = - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $y^{4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$