Analysis Beispiele

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ als $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ um.

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

Schritt 3.2.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Schritt 3.2.5

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.2.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Schritt 3.2.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.2.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.2.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.2.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.2.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Schritt 3.2.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{3^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Schritt 3.2.8.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Schritt 3.2.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.2.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

Schritt 3.2.9.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$