Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x y)}^{2}}{8} + y^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + y^{2}$

Schritt 1.1.2

Um $y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + y^{2} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + \frac{y^{2} \cdot 8}{8}$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 8}{8}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 8$ heraus.

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Schritt 1.1.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 8}{8}$

Schritt 1.1.5.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 8$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} x^{2} + y^{2} (8)}{8}$

Schritt 1.1.5.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x^{2} + y^{2} (8)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{8}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{8} (x^{2} + 8)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{8}{y^{2}}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{8} (x^{2} + 8))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{8} x^{2} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{8}$ und $x^{2}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2})$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $\frac{8}{y^{2}}$ mit $\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2})}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.4.5.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $\frac{y^{2} x^{2}}{8}$ heraus.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2})}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2} \cdot 1)}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2} \cdot 1$ heraus.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + 1))}{y^{2}}$

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + 1)}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + \frac{8}{8})}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} \frac{x^{2} + 8}{8}}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.4.5.4.1

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{2} + 8}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \frac{8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.4.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{8 (x^{2} + 8)}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} (8 (x^{2} + 8))}{8}}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.5

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.5.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.5.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{1}}{y^{2}}$

Schritt 1.4.5.6.2

Dividiere $y^{2} (x^{2} + 8)$ durch $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{y^{2}}$

Schritt 1.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{y^{2}}$

Schritt 1.4.6.2

Dividiere $x^{2} + 8$ durch $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 8$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{8}{y^{2}} d y = (x^{2} + 8) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{8}{y^{2}} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$8 \int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \int y^{- 2} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$8 (- y^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $8 (- y^{- 1} + C_{1})$ als $8 (- \frac{1}{y}) + C_{1}$ um.

$8 (- \frac{1}{y}) + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2.4.2.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 8}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.2.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 8 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 8 x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 8 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{8}{y} = \frac{1}{3} x^{3} + 8 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 3, 1, 1$

Schritt 3.2.2

Da $y, 3, 1, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 3, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $y^{1}$ .

Schritt 3.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.2.5

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 3.2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.2.7

Das kgV von $1, 3, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 3.2.8

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.9

Das kgV von $y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 3.2.10

Das kgV von $y, 3, 1, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$ mit $3 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$ mit $3 y$ .

$- \frac{8}{y} (3 y) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 8}{y} (3 y) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{- 8}{y} (y \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8}{y} (y \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 8 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$- 24 = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 24 = 3 \frac{x^{3}}{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 24 = 3 \frac{x^{3}}{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 24 = x^{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Schritt 3.3.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 24 = x^{3} y + 8 \cdot 3 x y + K (3 y)$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$- 24 = x^{3} y + 24 x y + K (3 y)$

Schritt 3.3.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 24 = x^{3} y + 24 x y + 3 K y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} y + 24 x y + 3 K y = - 24$ um.

$x^{3} y + 24 x y + 3 K y = - 24$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y + 24 x y + 3 K y$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y$ heraus.

$y x^{3} + 24 x y + 3 K y = - 24$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $24 x y$ heraus.

$y x^{3} + y (24 x) + 3 K y = - 24$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $3 K y$ heraus.

$y x^{3} + y (24 x) + y (3 K) = - 24$

Schritt 3.4.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y x^{3} + y (24 x)$ heraus.

$y (x^{3} + 24 x) + y (3 K) = - 24$

Schritt 3.4.2.5

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{3} + 24 x) + y (3 K)$ heraus.

$y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$ durch $x^{3} + 24 x + 3 K$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$ durch $x^{3} + 24 x + 3 K$ .

$\frac{y (x^{3} + 24 x + 3 K)}{x^{3} + 24 x + 3 K} = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3} + 24 x + 3 K$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{3} + 24 x + 3 K)}{x^{3} + 24 x + 3 K} = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{24}{x^{3} + 24 x + K}$