Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x e^{6 x - 5 y}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{6 x - 5 y}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{6 x - 5 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{6 x - 5 y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 6 x - 5 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 5 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Schritt 2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Schritt 2.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 y')$

Schritt 3

Ersetze $e^{6 x - 5 y}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (6 - 5 y')$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$

Schritt 5

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ mit $- (5 v)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ mit $- (5 v)$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 v$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.1.2

Faktorisiere $5 v$ aus $- (5 v)$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v (- 1)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v \cdot - 1) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- (5 v)$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + 6 (- (v)) = x v (- (5 v))$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = x v (- (5 v))$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v \cdot v$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1

Bewege $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x (v \cdot v)$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v^{2}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$

Schritt 6

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $v^{2}$ ist.

$v = v^{- 1}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $v$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 8

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 9

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 9.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 9.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 9.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 10

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d v}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $v$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 11

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 11.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 11.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.2.1.5.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.6

Vereinfache $- 6 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 11.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.3.2

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.3.2.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Schritt 11.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Schritt 11.1.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{0} \cdot - 1$

Schritt 11.1.3.3

Vereinfache $- 5 x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x \cdot - 1$

Schritt 11.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = 5 x$

Schritt 11.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 6$ gilt.

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Schritt 11.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 6 d x}$

Schritt 11.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{6 x + C}$

Schritt 11.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{6 x}$

Schritt 11.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{6 x}$ .

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Schritt 11.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + e^{6 x} (6 v) = e^{6 x} (5 x)$

Schritt 11.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = e^{6 x} (5 x)$

Schritt 11.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$

Schritt 11.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$ um.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 v e^{6 x} = 5 x e^{6 x}$

Schritt 11.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} v] = 5 x e^{6 x}$

Schritt 11.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} v] d x = \int 5 x e^{6 x} d x$

Schritt 11.6

Integriere die linke Seite.

$e^{6 x} v = \int 5 x e^{6 x} d x$

Schritt 11.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 11.7.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{6 x} v = 5 \int x e^{6 x} d x$

Schritt 11.7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Schritt 11.7.3

Vereinfache.

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Schritt 11.7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Schritt 11.7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Schritt 11.7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

Schritt 11.7.4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

Schritt 11.7.5

Sei $u = 6 x$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.7.5.1

Es sei $u = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.7.5.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 11.7.5.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 11.7.5.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 11.7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

Schritt 11.7.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Schritt 11.7.7

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Schritt 11.7.8

Vereinfache.

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Schritt 11.7.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Schritt 11.7.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Schritt 11.7.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Schritt 11.7.10

Schreibe $5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ als $5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ um.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Schritt 11.7.11

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x}) + C$

Schritt 11.8

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 11.8.1

Vereinfache.

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Schritt 11.8.1.1

Kombiniere $e^{6 x}$ und $\frac{1}{36}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Schritt 11.8.1.2

Entferne die Klammern.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Schritt 11.8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ durch $e^{6 x}$ und vereinfache.

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Schritt 11.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ durch $e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{6 x}$ .

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Schritt 11.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.8.2.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.8.2.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{6 x}$ aus $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}$ heraus.

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Schritt 11.8.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $e^{6 x}$ aus $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x}$ heraus.

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $e^{6 x}$ aus $- \frac{e^{6 x}}{36}$ heraus.

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $e^{6 x}$ aus $e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36})$ heraus.

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x - \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.3

Um $\frac{x}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.8.2.3.1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{6}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{6 \cdot 6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{36} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{x \cdot 6 - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{6 x - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.8.2.3.1.1.7.1

Kombiniere $\frac{6 x - 1}{36}$ und $5$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36} e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36}$ und $e^{6 x}$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5 e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.1.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $6 x - 1$ .

$v = \frac{\frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.3

Kombinieren.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{6 x}$ .

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Schritt 11.8.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{5 (6 x - 1) \cdot 1}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.2

Um $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.3

Um $\frac{C}{e^{6 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Schritt 11.8.2.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36 e^{6 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.8.2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ mit $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Schritt 11.8.2.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{6 x}}$ mit $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{e^{6 x} \cdot 36}$

Schritt 11.8.2.3.4.3

Stelle die Faktoren von $e^{6 x} \cdot 36$ um.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.8.2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{(5 (6 x) + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$v = \frac{(30 x + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$v = \frac{(30 x - 5) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Schritt 11.8.2.3.6.5

Bringe $36$ auf die linke Seite von $C$ .

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Schritt 12

Ersetze $v$ durch $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Schritt 13

Ersetze alle $v$ durch $e^{6 x - 5 y}$ .

${(e^{6 x - 5 y})}^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Schritt 14

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 14.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Schritt 14.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 14.2.1

Zerlege $\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1})$ durch Herausziehen von $- 1$ aus dem Logarithmus.

$- \ln (e^{6 x - 5 y}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Schritt 14.2.2

Zerlege $\ln (e^{6 x - 5 y})$ durch Herausziehen von $6 x - 5 y$ aus dem Logarithmus.

$- ((6 x - 5 y) \ln (e)) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Schritt 14.2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- ((6 x - 5 y) \cdot 1) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Schritt 14.2.4

Mutltipliziere $6 x - 5 y$ mit $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Schritt 14.3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 14.3.1

Schreibe $\ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$ als $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$ um.

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$

Schritt 14.3.2

Schreibe $\ln (36 e^{6 x})$ als $\ln (36) + \ln (e^{6 x})$ um.

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + \ln (e^{6 x}))$

Schritt 14.3.3

Zerlege $\ln (e^{6 x})$ durch Herausziehen von $6 x$ aus dem Logarithmus.

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \ln (e))$

Schritt 14.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \cdot 1)$

Schritt 14.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Schritt 14.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.4.1

Vereinfache $- (6 x - 5 y)$ .

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Schritt 14.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (6 x) - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Schritt 14.4.1.2

Multipliziere.

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Schritt 14.4.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 x - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Schritt 14.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Schritt 14.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.5.1

Vereinfache $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$ .

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Schritt 14.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - (6 x)$

Schritt 14.5.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - 6 x$

Schritt 14.5.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}) - 6 x$

Schritt 14.5.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.5.1.3.1

Zerlege den Bruch $\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}$ in zwei Brüche.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Schritt 14.5.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.5.1.3.2.1

Faktorisiere $5 e^{6 x}$ aus $30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}$ heraus.

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Schritt 14.5.1.3.2.1.1

Faktorisiere $5 e^{6 x}$ aus $30 x e^{6 x}$ heraus.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Schritt 14.5.1.3.2.1.2

Faktorisiere $5 e^{6 x}$ aus $- 5 e^{6 x}$ heraus.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Schritt 14.5.1.3.2.1.3

Faktorisiere $5 e^{6 x}$ aus $5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)$ heraus.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Schritt 14.5.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 14.5.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Schritt 14.5.1.3.2.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x$

Schritt 14.6

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 14.6.1

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$

Schritt 14.6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$ .

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Schritt 14.6.2.1

Addiere $- 6 x$ und $6 x$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) + 0$

Schritt 14.6.2.2

Addiere $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ und $0$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$

Schritt 14.7

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 14.7.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Schritt 14.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 14.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Schritt 14.7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$