Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{3}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{3}{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 \ln (x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{3})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{3}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \ln (x)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x \ln (x)$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x \ln (x) d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x^{3} y = \int x \ln (x) d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x$ .

$x^{3} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Schritt 6.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Schritt 6.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 6.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 6.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Schritt 6.4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 6.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (x)$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 6.6.4

Stelle die Terme um.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 7.1.2

Entferne die Klammern.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})$ heraus.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{4}$ in den Zähler.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 1}{4}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 7.2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$