Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x + 2)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x + 1) (x + 2) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 2.3.1.4

Stelle $x$ und $2$ um.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 2.3.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 2.3.1.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 2.3.1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 2.3.1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 2.3.1.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 2.3.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

Schritt 2.3.1.11

Addiere $2 x$ und $x$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 2 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{5}$

Schritt 2.3.7.3

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$