Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \frac{t^{2} \sqrt{y}}{1 + t^{3}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t^{2}}{1 + t^{3}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\frac{t^{2}}{1 + t^{3}} \sqrt{y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{y}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $\sqrt{y}$ aus $\frac{t^{2}}{1 + t^{3}} \sqrt{y}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{t^{2}}{1 + t^{3}})$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{t^{2}}{1 + t^{3}})$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{2}}{1 + t^{3}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{2}}{1^{3} + t^{3}}$

Schritt 1.3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{2}}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})}$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})}$

Schritt 1.3.2.3.2

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$

Schritt 2.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = (1 + t) (1 - t + t^{2})$ . Dann ist $d u = 3 t^{2} d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = (1 + t) (1 - t + t^{2})$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $(1 + t) (1 - t + t^{2})$ .

$\frac{d}{d t} [(1 + t) (1 - t + t^{2})]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 1 + t$ und $g (t) = 1 - t + t^{2}$ .

$(1 + t) \frac{d}{d t} [1 - t + t^{2}] + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 + t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(1 + t) (0 + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 + t) (\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) (- \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 2.3.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + t) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 2.3.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + t) (- 1 + \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 2.3.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + t) (- 1 + 2 t) + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Schritt 2.3.1.1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) (- 1 + 2 t) + (1 - t + t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.3.1.1.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(1 + t) (- 1 + 2 t) + (1 - t + t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.3.1.1.3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) (- 1 + 2 t) + (1 - t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.1.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + t) (- 1 + 2 t) + (1 - t + t^{2}) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.12

Mutltipliziere $1 - t + t^{2}$ mit $1$ .

$(1 + t) (- 1 + 2 t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + t) \cdot - 1 + (1 + t) (2 t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + t \cdot - 1 + (1 + t) (2 t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + t \cdot - 1 + 1 (2 t) + t (2 t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.1.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + t \cdot - 1 + 1 (2 t) + t (2 t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$- 1 - 1 \cdot t + 1 (2 t) + t (2 t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$- 1 - t + 1 (2 t) + t (2 t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 - t + 2 t + t (2 t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 1 - t + 2 t + 2 (t^{1} t) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.6

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 1 - t + 2 t + 2 (t^{1} t^{1}) + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 - t + 2 t + 2 t^{1 + 1} + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 - t + 2 t + 2 t^{2} + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.9

Addiere $- t$ und $2 t$ .

$- 1 + t + 2 t^{2} + 1 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$t + 2 t^{2} + 0 - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.11

Addiere $t + 2 t^{2}$ und $0$ .

$t + 2 t^{2} - t + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.12

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$2 t^{2} + 0 + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.13

Addiere $2 t^{2}$ und $0$ .

$2 t^{2} + t^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.14

Addiere $2 t^{2}$ und $t^{2}$ .

$3 t^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $(1 + t) (1 - t + t^{2})$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + t) (1 - t + t^{2}) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + t) (1 - t + t^{2}) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + t) (1 - t + t^{2}) |) + C$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + t) (1 - t + t^{2}) |) + C$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| (1 + t) (1 - t + t^{2}) |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| (1 + t) (1 - t + t^{2}) |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| (1 + t) (1 - t + t^{2}) |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| (1 + t) (1 - t + t^{2}) |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.2.1

Multipliziere $(1 + t) (1 - t + t^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- t) + 1 t^{2} + t \cdot 1 + t (- t) + t \cdot t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.2.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- t) + 1 t^{2} + t \cdot 1 + t (- t) + t \cdot t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.2

Mutltipliziere $- t$ mit $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + 1 t^{2} + t \cdot 1 + t (- t) + t \cdot t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.3

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + t^{2} + t \cdot 1 + t (- t) + t \cdot t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.4

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + t^{2} + t + t (- t) + t \cdot t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + t^{2} + t - t \cdot t + t \cdot t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.6

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.2.2.6.1

Bewege $t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + t^{2} + t - (t \cdot t) + t \cdot t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.6.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + t^{2} + t - t^{2} + t \cdot t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.7

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.2.2.7.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.2.2.7.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + t^{2} + t - t^{2} + t^{1} t^{2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + t^{2} + t - t^{2} + t^{1 + 2} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 - t + t^{2} + t - t^{2} + t^{3} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - t + t^{2} + t - t^{2} + t^{3}$ .

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Schritt 3.1.3.2.3.1

Addiere $- t$ und $t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 + t^{2} + 0 - t^{2} + t^{3} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.3.2

Addiere $1 + t^{2}$ und $0$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 + t^{2} - t^{2} + t^{3} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.3.3

Subtrahiere $t^{2}$ von $t^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + t^{3} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3} \ln (| 1 + t^{3} |) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.2.4

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (| 1 + t^{3} |)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + C}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + C}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + C}{2}$ in zwei Brüche.

$y = {(\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}})}{2} + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Schreibe $\frac{\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}})$ um.

$y = {(\frac{1}{2} \ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = {(\ln ({({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = {(\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.3.2

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = {(\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{3 \cdot 2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = {(\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{6}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = {(\ln ({| 1 + t^{3} |}^{\frac{1}{6}}) + C)}^{2}$