Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

Schritt 1

Nehme $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ an.

Schritt 2

Prüfe, ob die Funktion kontinuierlich um den Punkt $(3, 1)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze $(3, 1)$ Werte in $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\sqrt{3 - y}$

Schritt 2.1.2

Ersetze $y$ durch $1$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Schritt 2.1.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 2.2

Da es keinen Logarithmus mit negativen Argument oder Null gibt, und auch keine Wurzel mit Null oder einen negativen Radikanden gibt, und keinen Bruch mit Null im Nenner, ist die Funktion kontinuierlich auf dem offenen Intervall um $x$ mit dem Wert $(3, 1)$ .

Stetig

Schritt 3

Ermittle die partiellen Ableitungen nach $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Erstelle die partiellen Ableitungen.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

Schritt 3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - y}$ als ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = x - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.8.3

Bringe ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Schritt 3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 3.10

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 3.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 3.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.14

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Schritt 3.14.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.14.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Prüfe, ob die partiellen Ableitungen nach $y$ kontinuierlich um den Punkt $(3, 1)$ sind.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Schritt 4.2

Ersetze $(3, 1)$ Werte in $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Schritt 4.2.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Schritt 4.2.3

Ersetze $y$ durch $3$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Schritt 4.3

Stetig

Schritt 5

Beide, die Funktion und ihre partiellen Ableitungen nach $y$ , sind kontinuierlich auf einen offenen Intervall um $x$ im Punkt $(3, 1)$ .

Eine eindeutige Lösung