Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 y)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $\cos (2 y)$ aus $2 \cos (2 y)$ heraus.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 e^{4 x}$ heraus.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 (1)}$

Schritt 1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{1}$

Schritt 1.2.2.2.4

Dividiere $4 e^{4 x}$ durch $1$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\cos (2 y) d y = 4 e^{4 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \cos (2 y) d y = \int 4 e^{4 x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 2 y$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\cos (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int 4 e^{4 x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{4 x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = 4 x$ . Dann ist $d u_{2} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{4 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) = e^{4 x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y)) = 2 (e^{4 x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \sin (2 y))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 y)$ .

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 y) = 2 (e^{4 x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (2 y) = 2 e^{4 x} + 2 K$

Schritt 3.3

Stelle $2 e^{4 x}$ und $2 K$ um.

$\sin (2 y) = 2 K + 2 e^{4 x}$

Schritt 3.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\arcsin (K + 2 e^{4 x})}{2}$