Analysis Beispiele

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

Schritt 2

Ermittle $y'$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

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Schritt 2.3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 e^{4 x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.3.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Schritt 2.3.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

Schritt 2.3.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

Schritt 2.3.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Schritt 3

Ermittle $y''$ .

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Schritt 3.1

Bestimme die Ableitung.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 e^{4 x}$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

Schritt 3.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

Schritt 4

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Schritt 5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $42 e^{3 x}$ von $18 e^{3 x}$ .

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Schritt 5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ .

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Schritt 5.3.1

Addiere $- 24 e^{3 x}$ und $24 e^{3 x}$ .

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $80 e^{4 x}$ von $0$ .

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Schritt 5.4

Addiere $- 80 e^{4 x}$ und $140 e^{4 x}$ .

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Schritt 5.5

Subtrahiere $60 e^{4 x}$ von $60 e^{4 x}$ .

$0 = 0$

Schritt 6

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ ist ein Lösung von $y'' - 7 y' + 12 y = 0$