Analysis Beispiele

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

Schritt 2.3.3

Da $2 t - 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 t - 1$ aus dem Integral.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ durch $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Schritt 3.3.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

Schritt 3.3.2.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

Schritt 3.3.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Schritt 3.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} t$ heraus.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Schritt 3.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Schritt 3.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Schritt 3.3.2.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.2.8

Vereinige $x^{2} t$ und $- \frac{x^{2}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 3.3.2.8.1

Stelle $x^{2}$ und $t$ um.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.2.8.2

Um $t x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.2.8.3

Kombiniere $t x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.2.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.9.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.9.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $t x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.2.9.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.2.9.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.2.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.3

Um $6 e^{2 t} t x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.4.1

Kombiniere $6 e^{2 t} t x$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ heraus.

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Schritt 3.3.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 t - 1)$ heraus.

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ heraus.

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.5.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.5.6

Vereinfache jeden Term.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

Schritt 3.3.6

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.7.1

Kombiniere $K$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.8.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.8.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.8.3.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.8.3.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

Schritt 3.3.8.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Schritt 3.3.9

Stelle die Faktoren in $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ um.

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Schritt 3.3.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ mit $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$