Analysis Beispiele

$3 y (x^{2} - 1) d x + (x^{3} + 8 y - 3 x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y (x^{2} - 1)]$

Schritt 1.2

Da $3 (x^{2} - 1)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y (x^{2} - 1)$ nach $y$ gleich $3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} - 3$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{3} + 8 y - 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 y - 3 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 8 y - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2.3

Da $8 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3$

Schritt 2.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} - 3$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $3 x^{2} - 3$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x^{2} - 3$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y (x^{2} - 1) d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = 3 y (\int x^{2} d x + \int - 1 d x)$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x)$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C)$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C - x + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $3 (\frac{x^{3}}{3} - x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)$ nach $y$ gleich $3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.5.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.5.2.2.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 8.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3}$

Schritt 9.1.2

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 0 + 3 x$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $8 y - 3 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 3 x$

Schritt 9.1.3.3

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y + 0$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $8 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $8 y$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 8 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 8 y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 8 y d y$

Schritt 10.3

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$g (y) = 8 \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Schreibe $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = 8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{8}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{4}{1} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$g (y) = 4 y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + 4 y^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + 4 y^{2} + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$f (x, y) = 3 (y) \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Schritt 12.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Schritt 12.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Schritt 12.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 \cdot - 1 y x + 4 y^{2} + C$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 y x + 4 y^{2} + C$