Analysis Beispiele

$2 y (x + 1) d y = x d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $y (x + 1)$ heraus.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Schritt 2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{x + 1}$ und $x$ .

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $x$ durch $x + 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 3.3.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 3.3.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 3.3.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 3.3.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 3.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 3.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 3.3.5

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.3.5.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.3.5.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.3.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Schritt 3.3.7

Vereinfache.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Schritt 3.3.8

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Schritt 4.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Schritt 4.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Schritt 4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$