Analysis Beispiele

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + (\cos (θ)) r = \tan (θ)$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $\sin (θ) r$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = r$ .

$\sin (θ) \frac{d}{d θ} [r] + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d θ} [r]$ als $r'$ um.

$\sin (θ) r' + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$\sin (θ) r' + r \cos (θ)$

Schritt 1.4

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d θ}$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r \cos (θ)$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] = \tan (θ)$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] d θ = \int \tan (θ) d θ$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$\sin (θ) r = \int \tan (θ) d θ$

Schritt 5

Das Integral von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ durch $\sin (θ)$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ durch $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Separiere Brüche.

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Schritt 6.3.1.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Schritt 6.3.1.3

Dividiere $\ln (| \sec (θ) |)$ durch $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Schritt 6.3.1.4

Separiere Brüche.

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Schritt 6.3.1.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \csc (θ)$

Schritt 6.3.1.6

Dividiere $C$ durch $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + C \csc (θ)$