Analysis Beispiele

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $e^{x} e^{y} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{- 2 y}$ und $\frac{1}{e^{y}}$ .

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{- 2 y}$ und $e^{y}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{- 2 y}$ heraus.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.3.2.4

Dividiere $e^{- 3 y}$ durch $1$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e^{y}}$ in den Zähler.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{x} e^{y}$ heraus.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

Schritt 3.6

Multipliziere $e^{x - y}$ mit $e^{y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

Schritt 3.6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - y + y$ .

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

Schritt 3.6.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u = - 3 y$ . Dann ist $d u = - 3 d y$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u = - 3 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

Schritt 4.2.2.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $y$ gleich $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.8

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.2.9

Ersetze alle $u$ durch $- 3 y$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{- 3 y}$ .

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $3 (- e^{x} + K)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

Schritt 5.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Schritt 5.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.4.1

Zerlege $\ln (e^{- 3 y})$ durch Herausziehen von $- 3 y$ aus dem Logarithmus.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Schritt 5.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$