Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $\frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$e^{\int - \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Schritt 2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Schritt 2.2.1.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$e^{\int - - \cot (x) d x}$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{\int 1 \cot (x) d x}$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sin (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - (- 1 \cos (x)) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + 1 \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = x \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = x \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int x \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\sin (x) y = \int x \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Schritt 7.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Schritt 7.4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Schritt 7.5

Schreibe $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ als $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ um.

$\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ durch $\sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Separiere Brüche.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$y = \frac{- x}{1} \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.3

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.5

Separiere Brüche.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.6

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \csc (x)$

Schritt 8.3.1.7

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + C \csc (x)$