Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{3} + 12 x^{2} - 20 x + 8.5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (- 2 x^{3} + 12 x^{2} - 20 x + 8.5) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 2 x^{3} + 12 x^{2} - 20 x + 8.5 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 2 x^{3} + 12 x^{2} - 20 x + 8.5 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - 2 x^{3} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 2 \int x^{3} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int 12 x^{2} d x + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Schritt 2.3.4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 \int x^{2} d x + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Schritt 2.3.6

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 20$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int 8.5 d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8.5 d x$

Schritt 2.3.8

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8.5 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8.5 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8.5 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8.5 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{x^{4}}{2} + 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8.5 x + C_{6}$

Schritt 2.3.10

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{4} + 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8.5 x + C_{6}$

Schritt 2.3.11

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 4 x^{3} - 10 x^{2} - \frac{1}{2} x^{4} + 8.5 x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 4 x^{3} - 10 x^{2} - \frac{1}{2} x^{4} + 8.5 x + K$