Analysis Beispiele

$x \sqrt{1 + y^{2}} d x + y \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x \sqrt{1 + y^{2}} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \sqrt{1 + x^{2}} d y = - x \sqrt{1 + y^{2}} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ als $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ als ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.2.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kombiniere $y$ und $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ und $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.3.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.3.4

Potenziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.3.5

Potenziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1 + 1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y \sqrt{{(1^{2} + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{y ((1^{2} + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{y ((1 + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (1 \sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $\sqrt{1 + y^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.4.6

Faktorisiere $\sqrt{1 + y^{2}}$ aus $\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.4.6.2

Faktorisiere $\sqrt{1 + y^{2}}$ aus $x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ heraus.

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.4.6.3

Faktorisiere $\sqrt{1 + y^{2}}$ aus $\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2}$ heraus.

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - (\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}) (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ als $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ als ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.8.6.5

Vereinfache.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Schritt 3.9

Multipliziere $- \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + y^{2}} d x$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $\sqrt{1 + y^{2}}$ und $\frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{1 + y^{2}} (x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.9.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{(1 + y^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.9.4

Potenziere $1 + y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} (1 + y^{2}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.9.5

Potenziere $1 + y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} {(1 + y^{2})}^{1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.9.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1 + 1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.9.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1^{2} + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x ((1^{2} + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.10.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x ((1 + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (1 \sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.10.5

Mutltipliziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.10.6

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.10.6.2

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.10.6.3

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2}$ heraus.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Schritt 3.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.2.2

Multipliziere $u_{1}$ mit ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.2.1

Mutltipliziere $u_{1}$ mit ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.2.1.1

Potenziere $u_{1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.1

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{1}$ gleich $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6.2.3

Mutltipliziere ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + y^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2.2

Multipliziere $u_{2}$ mit ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.2.1

Mutltipliziere $u_{2}$ mit ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.2.1.1

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.3.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Schreibe $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7.2.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$