Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 5 x e^{y}$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (5 x e^{y})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 5 \frac{1}{e^{y}} (x e^{y})$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (x e^{y})$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $x e^{y}$ heraus.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (e^{y} x)$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (e^{y} x)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 5 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{y}} d y = 5 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 5 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.1.2.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\int 1 e^{- y} d y = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} d u = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} d u = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- e^{u} + C_{1} = \int 5 x d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 5 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$- e^{- y} + C_{1} = 5 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$- e^{- y} + C_{1} = 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{5}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $e^{- y}$ durch $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{5}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\frac{5}{2} x^{2})$ als $- (\frac{5}{2} x^{2})$ um.

$e^{- y} = - (\frac{5}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} - 1 \cdot K$

Schritt 3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} - K$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{- y})$ durch Herausziehen von $- y$ aus dem Logarithmus.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ als $- \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ um.

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$ ersetzt wird.

$0 = - \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ um.

$- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)$ durch $1$ .

$\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\ln (- \frac{5 \cdot 0}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\ln (- \frac{0}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\ln (- 0 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\ln (0 + K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $0$ und $K$ .

$\ln (K) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\ln (K) = 0$

Schritt 6.3

Um nach $K$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (K)} = e^{0}$

Schritt 6.4

Schreibe $\ln (K) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = K$

Schritt 6.5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $K = e^{0}$ um.

$K = e^{0}$

Schritt 6.5.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$K = 1$

Schritt 7

Setze $1$ für $K$ in $y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $1$ .

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + 1)$