Analysis Beispiele

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x e^{y}}$ .

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{y}$ heraus.

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Schritt 3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{e^{y}}$ und $y$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $x e^{y}$ heraus.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $(5 - x) e^{y}$ heraus.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $5 - x$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.1.2.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.5.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 4.2.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.8

Schreibe $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ als $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ um.

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.9

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.2.10

Stelle die Terme um.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

Schritt 4.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

Schritt 4.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

Schritt 4.3.8

Stelle die Terme um.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$