Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5 x^{2} + 1$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 5 x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{d y}{d x} = \int 5 x^{2} d x + \int d x$

Schritt 1.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = 5 \int x^{2} d x + \int d x$

Schritt 1.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + \int d x$

Schritt 1.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + x + C_{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{1}) + x + C_{2}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{3}}{3} + x + C_{3}$

Schritt 1.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{4} = \int \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{4} = \int \frac{5}{3} x^{3} d x + \int x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{5}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{4} = \frac{5}{3} \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \int x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6} + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6} + C_{3} x + C_{7}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{4} = \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

Schritt 3.3.6.2

Stelle die Terme um.

$y + C_{4} = \frac{5}{12} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = \frac{5}{12} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$