Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{y}{1 + 2 y^{2}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 2 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cos (x)$ heraus.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.5

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 \int y d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1

Vereinfache.

$\ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.7.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.8

Stelle die Terme um.

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$